Tendensi Sentral

Hay sahabat ku semua, ini adalah powerpoint presentasi saya dan teman-teman saya tentang tendensi sentral... dan bagi teman-teman yang membutuhkan untuk bahan belajar silahkan bisa di download...

Tendensi sentral from Indra Gunawan

Read More

LOGARITMA

Hay sahabat-sahabatku, senang berjumpa lagi bersama kalian... Saya punya materi Power Point tentang Lgaritma nih, saya dapatkan powerpoint ini dari dosen saya waktu saya semester II... Seamoga bisa membantu sahabat-sahabat semua,...

Logaritma from Indra Gunawan

Read More

PELUANG

Ini merupakan file yang saya terima dari salah satu dosen di tempat saya kuliah, materi power point ini membahas temtang peluang semoga bermanfaat untuk teman-teman semua....

Peluang from Indra Gunawan

Read More

KONSEP DASAR PROBABILITAS

Ini merupakan file presentasi kuliah saya dan teman-teman tentang konsep dasar Probabilitas, semoga bermanfaat bagi teman-teman semua....,

Konsep Dasar Probabilitas from Indra Gunawan

Read More

SEJARAH MATEMATIKA

Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam pemerintahan,industri, sains). Sejarah matematika adalah penyelidikan terhadap asalmula penemuan di dalam matematika dansedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika dimasa silam. Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.

Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani

yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός

(mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Metode yang digunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif.Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yangkhusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkalibenar atau tidak perlu benar.

Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh tertulis dari pengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa tempat.Tulisan matematika terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton322 (matematika Babilonia sekitar 1900 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa (matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang umum dikenal sebagai teorema Pythagoras,yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.

Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui pengenalan penalaran deduktif dan kekakuan matematika di dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok bahasan matematika. Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar". Matematika Cina membuat sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturan penggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah pada pengembangan matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.

Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh abad-abad kemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembangan matematika baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut hingga kini.

Sejarah matematika dilihat :

Secara Geografis

1. Mesopotamia

- Menentukan system bilangan pertama kali

- Menemukan system berat dan ukur

- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi

berbentuk baji

2. Babilonia

- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125

- Penemu kalkulator pertama kali

- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi

- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat

- Geometrinya bersifat aljabaris

- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang

berkembang

- Sudah mengenal teorema Pythagoras

3. Mesir Kuno

- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi

- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM

-Mengenal tripel Pythagoras

- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika

- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10

4. Yunani Kuno

- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)

- Pencetus awal konsep nol adalah Al Khwarizmi

- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan

kerucut

- Hipassus penemu bilangan irrasional

- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinya

merupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah

persamaan)

- Archimedes membuat geometri bidang datar

- Mengenal bilangan prima

5. India

- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad

- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran

- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal

- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif

- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”

- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasi

dan segitiga pascal

6. China

- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM

- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner,

aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus

- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitu

persamaan kuadrat, kubikdan qualitik

- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan

Kuadrat

Berdasarkan Tokoh

1. Thales (624-550 SM)

Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau

proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid.

Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales

sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.

2. Pythagoras (582-496 SM)

Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma,

postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan

geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras

namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. Persaudaraan Pythagoras

menemukan 2 sebagai bilangan irrasional.

3. Socrates (427-347 SM)

Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran

serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karena

pergaulannya dengan kaum sofis. Plato merupakan ahli piker pertama yang

menerima paham adanya alam bukan benda.

4. Ecluides (325-265 SM)

Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan

geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras,

persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi dan

lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.

5. Archimedes (287-212 SM)

Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan

perhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika

terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga kaaarya Archimedes

membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari

parabola dan spiral.

6. Appolonius (262-190 SM)

Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan

bagi astronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam

geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.

7. Diophantus (250-200 SM)

Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan

konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim

di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan

pertama tentang system aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika

Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan

persamaan-persamaan tingkat pertama.

Hubungan Filsafat Dengan Matematika

Matematika dan filsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman Yunani Kuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi bagi para filsuf, metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kita bahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai sorang filsuf, misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert, G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan kajian sekaligus pondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh para matematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai peranan hingga sampai era filsafat kontemporer di mana banyak para filsuf kemudian mempelajari logika. Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiran filsuf, kemudian para filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logika misalnya “logika modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh para matematikawan dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan analisis bahasa. Salah satu titik krusial yang menjadi masalah bersama oleh matematika maupun filsafat misalnya persoalan pondasi matematika. Baik matematikawan maupun para filsuf bersama-sama berkepentingan untuk menelaah apakah ada pondasi matematika? Jika ada apakah pondasi itu bersifat tunggal atau jamak? Jika bersifat tunggal maka apakah pondasi itu? Jika bersifat jamak maka bagaimana kita tahu bahwa satu atau beberapa diantaranya lebih utama atau tidak lebih utama sebagai pondasi? Pada abad 20, Cantor diteruskan oleh Sir Bertrand Russell, mengembangkan teori himpunan dan teori tipe, dengan maksud untuk menggunakannya sebagai pondasi matematika. Namun kajian filsafat telah mendapatkan bahwa di sini terdapat paradoks atau inkonsistensi yang kemudian membangkitkan kembali motivasi matematikawan di dalam menemukan hakekat dari sistem matematika.

Dengan teori ketidak-lengkapan, akhirnya Godel menyimpulkan bahwa suatu sistem matematika jika dia lengkap maka pastilah tidak akan konsisten; tetapi jika dia konsisten maka dia patilah tidak akan lengkap. Hakekat dari kebenaran secara bersama dipelajari secara intensif baik oleh filsafat maupun matematika. Kajian nilai kebenaran secara intensif dipelajari oleh bidang epistemologi dan filsafat bahasa. Di dalam matematika, melalui logika formal, nilai kebenaran juga dipelajari secara intensif. Kripke, S. dan Feferman (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) telah merevisi teori tentang nilai kebenaran; dan pada karyanya ini maka matematika dan filsafat menghadapi masalah bersama. Di lain pihak, pada salah satu kajian filsafat, yaitu epistemologi, dikembangkan pula epistemologi formal yang menggunakan pendekatan formal sebagai kegiatan riset filsafat yang menggunakan inferensi sebagai sebagai metode utama. Inferensi demikian tidak lain tidak bukan merupakan logika formal yang dapat dikaitkan dengan teori permainan, pengambilan keputusan, dasar komputer dan teori kemungkinan.

Para matematikawan dan para filsuf secara bersama-sama masih terlibat di dalam perdebatan mengenai peran intuisi di dalam pemahaman matematika dan pemahaman ilmu pada umumnya. Terdapat langkah-langkah di dalam metode matematika yang tidak dapat diterima oleh seorang intuisionis. Seorang intuisionis tidak dapat menerima aturan logika bahwa kalimat “a atau b” bernilai benar untuk a bernilai benar dan b bernilai benar. Seorang intuisionis juga tidak bisa menerima pembuktian dengan metode membuktikan ketidakbenaran dari ingkarannya. Seorang intuisionis juga tidak dapat menerima bilangan infinit atau tak hingga sebagai bilangan yang bersifat faktual. Menurut seorang intuisionis, bilangan infinit bersifat potensial. Oleh karena itu kaum intuisionis berusaha mengembangkan matematika hanya dengan bilangan yang bersifat finit atau terhingga.

Banyak filsuf telah menggunakan matematika untuk membangun teori pengetahuan dan penalaran yang dihasilkan dengan memanfaatkan bukti-bukti matematika dianggap telah dapat menghasilkan suatu pencapaian yang memuaskan. Matematika telah menjadi sumber inspirasi yang utama bagi para filsuf untuk mengembangkan epistemologi dan metafisik. Dari pemikiran para filsuf yang bersumber pada matematika diantaranya muncul pemikiran atau pertanyaan: Apakah bilangan atau obyek matematika memang betul-betul ada? Jika mereka ada apakah di dalam atau di luar pikiran kita? Jika mereka ada di luar pikiran kita bagaimana kita bisa memahaminya? Jika mereka ada di dalam pikiran kita bagaimana kita bisa membedakan mereka dengan konsep-konsep kita yang lainnya? Bagaimana hubungan antara obyek matematika dengan logika? Pertanyaan tentang “ada” nya obyek matematika merupakan pertanyaan metafisik yang kedudukannya hampir sama dengan pertanyaan tentang keberadaan obyek-obyek lainnya seperti universalitas, sifat-sifat benda, dan nilai-nilai; menurut beberapa filsuf jika obyek-obyek itu ada maka apakah dia terkait dengan ruang dan waktu? Apakah dia bersifat aktual atau potensi? Apakah dia bersifat abstrak? Atau konkrit? Jika kita menerima bahwa obyek matematika bersifat abstrak maka metode atau epistemologi yang bagaimana yang mampu menjelaskan obyek tersebut? Mungkin kita dapat menggunakan bukti untuk menjelaskan obyek-obyek tersebut, tetapi bukti selalu bertumpu kepada aksioma. Pada akhirnya kita akan menjumpai adanya “infinit regress” karena secara filosofis kita masih harus mempertanyakan kebenaran dan keabsahan sebuah aksioma.

Hannes Leitgeb di (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) di “Mathematical Methods in Philosophy” telah menyelidiki penggunaan matematika di filsafat. Dia menyimpulkan bahwa metode matematika mempunyai kedudukan penting di filsafat. Pada taraf tertentu matematika dan filsafat mempunyai persoalan-persoalan bersama. Hannes Leitgeb telah menyelidiki aspek-aspek dalam mana matematika dan filsafat mempunyai derajat yang sama ketika melakukan penelaahan yatitu kesamaan antara obyek, sifat-sifat obyek, logika, sistem-sistem, makna kalimat, hukum sebab-akibat, paradoks, teori permainan dan teori kemungkinan. Para filsuf menggunakan logika sebab-akibat untuk untuk mengetahui implikasi dari konsep atau pemikirannya, bahkan untuk membuktikan kebenaran ungkapan-ungkapannya. Joseph N. Manago (2006) di dalam bukunya “ Mathematical Logic and the Philosophy of God and Man” mendemonstrasikan filsafat menggunakan metode matematika untuk membuktikan Lemma bahwa terdapat beberapa makhluk hidup bersifat “eternal”. Makhluk hidup yang tetap hidup disebut bersifat eternal.

Read More

Bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi )

Ini merupakan File Presentasi dalam acara HIMMATIKA yang di sampaikan oleh teman saya mas Takwa Tri Subekti, semoga bermanfaat bagi teman-teman semua.
aminnnn.....

Bilangan prima dan tfm ( teori & aplikasi ) from Indra Gunawan

Read More

PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Tujuan Pembelajaran
Kompetensi Dasar :
- Mengaplikasikan konsep lingkaran dan garis singgung dalam pemecahan masalah.
Standar Kompetensi :
Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, anda diharapkan dapat :
- merumuskan persamaan lingkaran berpusat di O(0,0) dan (a,b).
- menentukan pusat dan jari-jari lingkatan yang persamaannya diketahui.
- menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu.
- menentukan persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran.
- menentukan persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui.

Pengertian Irisan Kerucut
Menurut Appolonius lingkaran adalah salah satu bentuk irisan kerucut. Selain lingkaran, terdapat tiga macam irisan kerucut lainnya, yaitu : Ellips, parabola, dan hiperbola. Ilmuwan lain yang mempelajari irisan kerucut adalah Pierre de Fermat dan Rene Descartes.

Materi
A. Persamaan Lingkaran
1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r
 


















Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, maka
OP =√OP’)2+(PP’)2
Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = y
r = √x2+y2
r2 = x2 + y2
x2 + y2 = r2


Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :
x2+y2 = r2

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r


















Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :
AP = √(AP’)2 + (PP’)2
r2 = √(x – a)2 + (y – b)2
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :
Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2


B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
1. Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Bentuk baku persamaan lingkaran :
● Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r :
L ≡ x2+y2 = r2
● Lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r :
L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Yang dimaksud dengan bentuk umum persamaan lingkaran contohnya :
Lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari 4, persamaannya adalah
L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16

Jika persamaan tersebut dijabarkan kemudian disusun berdasarkan aturan abjad dan pangkat turun, diperoleh :
L ≡ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 16
L ≡ (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 16
L ≡ x2 + y2 – 2x – 4y –11 = 16

Persamaan yang terakhir inilah yang disebut bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari-jari r = 4.

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran dapat dinyatakan dengan persamaan :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (A, B, C bilangan real)
atau
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A, B, C, D bilangan bulat A ≠ 0


2. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika bentuk umum persamaan lingkaran diketahui adalah
L ≡ x2 + y2 + Ax + By – C = 0
L ≡ (x2 + Ax + A2) – A2 + (y2 + By + B2) – B2 + C
4 4 4 4
L ≡ (x + A)2 + (y + B)2 = A2 + B2 - C
4 4 4 4


Berdasarkan persamaan di atas, dapat ditetapkan :
● Pusat lingkaran di (-A)
B
● Jari-jari lingkaran r = √A2 + B2 - C
4 4


C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
















● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r
Garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut :
1. Gradien garis singgung OP adalah Mop = y1
x1
2. Karena garis singgung g tegak lurus OP, maka gradiennya
mg = -1 = -1 = -x1
Mop y1 y1
3. Persamaan garis singgung g :
y – y1 = mg (x – x1)

y – y1 = x1 (x – x1)
y1
y1y – y12 = - x1x + x12
x1x + y1y = x12 + y12
x1x + y1y = r2

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 yang melalui titik P(x1, y1) pada lingkaran ditentukan dengan rumus :
x1x + y1y = r2

• Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r


















Garis singgung g dapat dinyatakan sebagai berikut
1. Gradien garis AP adalah Map = - y1 - b
x1 - a
2. Garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien garis singgung g adalah
mg = -1 = - x1 - a
Map - y1 - b
3. Persamaan garis singgung g adalah :
y – y1 = mg (x – x1)
y – y1 = - x1 - a
- y1 - a
(y – y1) (y1 – b) = – (x1 – a) (x – x1)
y1y – y12 – by + b y1 = – (x1x – ax – x12 + ax1)
x1x – ax – x12 + ax1 + y1y – y12 – by + b y1 = 0
x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = x12 + y12 ......(*)
Karena P(x1, y1) terletak pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka berlaku :
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2
x12 – 2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2 = r2
x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2
substitusi x12 + y12 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2 ke (*), diperoleh :
x1x – ax + ax1 + y1y – by + b y1 = 2ax1 – a2 + 2by1 – b2 + r2
(x1x – ax + ax1 – 2ax1 + a2) + (y1y – by + b y1 – 2by1 – b2) = r2
(x1x – ax – ax1 + a2) + (y1y – by – b y1 + b2) = r2
(x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

Rumus persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 yang melalui titik singgung P(x1, y1) adalah (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Diketahui
● Lingkaran dengan pusat di O (0,0) dan jari-jari r
1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ x2+y2 = r2, diperoleh :
x2 + (mx + n)2 = r2
x2 + m2x2 + 2mnx + n2 = r2
(1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1+ m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0 adalah
D = (2mn)2 – 4(1+ m2) (n2 – r2)
D = 4 m2n2 – 4(m2n2 – m2r2 + n2 – r2)
D = 4 m2n2 – 4 m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2
D = 4 (m2r2 – n2 + r2)

3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0.
4 (m2r2 – n2 + r2) = 0
m2r2 – n2 + r2 = 0
n2 = r2 (1 + m2)
n = ± r √1 + m2

Substitusi n = ± r √1 + m2 ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x2+y2 = r2 dengan gradien m adalah
y = mx ± r √1 + m2

● Lingkaran dengan pusat di A (0,0) dan jari-jari r
1. Persamaan garis dengan gradien m adalah y = mx + n
2. Substitusi y = mx + n ke persamaan lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2, diperoleh :
(x – a)2 + (mx + n – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + m2x2 + n2 + b2 + 2mnx – 2bmx – 2bn – r2 = 0
(1 + m2)x2 – 2(a – mn + bm)x + (a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)= 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat di atas adalah
D = {– 2(a – mn + bm)}2 – 4 (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)
D = 4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2)
3. Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0
4(a – mn + bm) 2 – 4(1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0
(a – mn + bm) 2 – (1 + m2)(a2 + n2 + b2 – 2bn – r2) = 0
a2 + m2n2 + b2m2 – 2amn + 2abm – 2bm2n – a2 – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 – m2n2 – b2m2 + 2bm2n + m2r2 = 0
– 2amn + 2abm – n2 – b2 + 2bn + r2 – a2m2 + m2r2 = 0
2amn – 2abm + n2 + b2 – 2bn – r2 + a2m2 – m2r2 = 0
(n2 + a2m2 + b2 + 2amn –2bn – 2abm) – r2 (1+ m2) = 0
(n + am – b)2 = r2 (1+ m2)
(n + am – b) = r √1 + m2
n = (–am + b) ± r√1 + m2
4. Substitusi n = (–am + b) ± ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh
y = mx + (–am + b) ± r √1 + m2
(y – b) = m(x – a) ± r √1 + m2

Jadi, rumus Persamaan Garis Singgung pada lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah
(y – b) = m(x – a) ± r√1 + m2

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui sebuah Titik di Luar Lingkaran
Cara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung yang terletak di luar lingkaran dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1.
Persamaan garis melalui P(x1,y1), dimisalkan gradiennya m. Persamaannya adalah y – y1 = m(x – x1) atau y = mx – mx1 + y1

Langkah 2.
Substitusikan y = mx – mx1 + y1 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabuangan itu dihitung.

Langkah 3.
Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D = 0. Dari syarat D = 0 diperoleh nilai-nilai m.
Nilai-nilai m itu selanjutnya disubstitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1, sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.

















Contoh :
Persamaan Lingkaran

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)
Penyelesaian :
Lingkaran berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5), maka jari-jari r adalah
r = √(-3)2 + 52 = √34
r2 = 34
Persamaan lingkarannya x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 34
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A(-3,5) adalah
L ≡ x2 + y2 = 34

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik A (-3,5)
Penyelesaian :
Pusat di (2,-4) dan r = 5 jadi r2 = 25
Persamaan lingkarannya :
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 25

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0
Penyelesaian :
L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0
L ≡ (x + 4x)2 + (y2 – 10y) = - 13
L ≡ (x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 + 4x – 10y + 25) – 25 = - 13
L ≡ (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16
Dari persamaan yang terakhir ini, dapat diketahui bahwa lingkaran L ≡ x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0 mempunyai pusat (-2,5) dan jari-jari r = 4

Persamaan Garis Singgung Lingkaran
4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 + y2 = 13 yang melalui titik (-3,2)
Penyelesaian :
Titik (-3,2); x1 = -3 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ x2 + y2 = 13
Persamaan garis singgungnya : (-3)x + (2)y = 13
-3x + 2y = 13

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2)
Penyelesaian :
Titik (7,2); x1 = 7 dan y1 = 2, terletak pada L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25
Persamaan garis singgungnya : (7 – 3)(x – 3) + (2 + 1)(y +1) = 25
4x – 12 + 3y – 34 = 25
4x + 3y – 34 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x + 3y – 34 = 0

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, jika diketahui mempunyai gradien 3.
Penyelesaian :
Lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16, pusat di O(0,0) dan jari-jari r = 4, mempunyai gradien m = 3.
Persamaan garis singgungnya : y = 3x ± 4√1 + (3)2
y = 3x ± 4√10
y = 3x + 4√10 atau 3x – 4√10
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x 2 + y2 = 16 dengan gradien m = 3 adalah
y = 3x + 4√10 dan 3x – 4√10

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12
Penyelesaian :
Persamaan garis singgungnya : (y + 2) =5/12(x – 1) ± 3√(1 + (5/12)2
(y + 2) = 5/12(x – 1) ± 39/12
12y + 24 = 5x – 5 ± 39
5x – 12y – 29 ± 39 = 0
5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 yang mempunyai gradien m = 5/12 adalah
5x – 12y – 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0 

Read More

Mengenal Macam-macam Bilangan dan Sifatnya

A. Macam-macam bilangan

1. Bilangan bulat
Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan nol, bilangan positif, dan bilangan
negatife, contohnya: -3, -2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3…. Dst

2. Bilangan asli
Bilangan asli merupakan suatu bilangan bulat positif yamg harus diawali dari angka1 (satu) hingga
tak terhingga, contohnya: 1, 2, 3, 4, 5…. Dst

3. Bilangan cacah
Bilangan cacah merupakan suatu bilangan bulat positif yang harus diawali dari angka 0 (nol)
hingga tak terhingga, contohnya: 0, 1, 2, 3, 4, 5…. Dst

4. Bilangan Prima
Bilangan prima merupakan suatu bilangan yang tepat punya 2 faktor, yaitu bilangan 1 (satu) dan
dengan bilangan itu sendiri, contohnya: 2, 3, 5, 7, 11, 13…. Dst

5. Bilangan Komposit
Bilangan komposit merupakan bilangan yang bukan 0 (nol), juga bukan 1, dan bukan juga bilangan
Prima, contohnya: 4, 6, 8, 9 , 10, 12, 14…. Dst

6. Bilangan Rasional
Bilangan Rasional merrupakan suatu bilangan yang dapat dinyatkan sebagai suatu pembagian
antara 2 bilangan bulat, contonya: ½, 2/3, ¾…. Dst

7. Bilangan Irrasional
Bilangan Irrasional merupakan bilangan yang nggak bisa dinyatkan sebagai pembagi dua bilangan
bulat, contohnya: √3, log 7….. Dst

8. Bilangan  rill atau biasa disebut dengan bilangan nyata
Bilangan rill merupakan bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan
Irrasional, contohnya: ½ √2, 1/3 √5, 2/3 log 2, dan seterusnya.

9. Bilangan Imajiner atau bilangan khayal
Bilangan imajiner merupakan bilangan yang ditandai dengan huruf i, Bilangan imajiner dengan
huruf i dapat dinyatakan sebagai √-1. Jadi apabila i = √-1 maka i2 = -1
contonya: √-8    = …. ?
√-8 = √8 x (-1) = √8 x √-1 = 4 x i  = 2 i

10. Bilangan kompleks
bilangan kompleks merupakan suatu bilangan yangv merupakan penggabungan dari suatu
bilangan rill dan bilangan imajiner
contohnya: Log √-1 = log i

B.  Sifat-sifat operasi dalam bilangan

1. Sifat komutatif atau sifat pertukaran
a + b = b + a atau a x b = b x a

2. Sifat asosiatif atau sifat pengelompokan
(a + b) + c = a + (b + c)
(p xq) x r = p x (q x r)

3. Sifat distributife atau sifat penyebaran
- Perkalian yang terjadi terhadap penjumlahan
( p + q) x r = (p x r) + (q x r)
- Perkalian yang terjadi terhadap pengurangan
( a - b) x c = (a x c) - (b x c)
- Pembagian yang terjadi terhadap penjumlahan
( p + b)/r= p/r + q/r
- Pembagian yang terjadi terhadap pengurangan
( a - b)/c = a/c - b/c

C. Pangkat atau eksponen

1. Pangkat bilangan bulat yang positif
Bentuk umum: An A = Bilangan pokok          n = pangkat atau eksponen
Sifat pada pangkat bilangan bulat yang positif:
1. Am x An = Am + n
Contoh:  62 x 64 = 62+4 = 66
2. Am/An = Am - n
Contoh: 49/46 = 49-6 43
3. (P x Q)n = Pn x Qn
Contoh: (5 x 2)2 = 52 x 22
4. (P/Q)2 = P2/Q2
Contoh: ( 3/5)4 =  32

2. Pangkat bilangan bulat yang negative dan nol
1. P-n = 1/Pn
Contoh: 6-3 = 1/63 = 1/216
2. A0 = 1                  syarat A ≠ 0
Contoh: 60 = 1
3. Pangkat pecahan
1.  A1/n = n√A
Contoh: 51/3 = 3√5
2.  Am/n = n√Am
Contoh: 52/4 = 4√52

Read More

Apa itu Ilmu Algoritma ?

Algoritma, Algoritme, atau Algorithms adalah ilmu yang “berisi” kumpulan perintah untuk segera menyelesaikan suatu masalah.

Perintah yang dimaksud biasanya berkenaan dengan apapun. Perintah tersebut harus bisa diterjemahkan dari awal hingga akhir secara sistematis atau bertahap. Semua perintah dapat diselesaikan dengan rumus Algoritma asalkan perintah tersebut memenuhi kriteria kondisi awal.

Ketika suatu perintah atau permasalahan tersebut sudah memenuhi kriteria persyaratan, maka perintah atau permasalahan tersebut akan dapat terselesaikan menggunakan rumus atau ilmu Algoritma. Dalam memecahkan permasalahan, Algoritma mengeluarkan atau memiliki rangkaian langkah yang kadang diulang atau disebut iterasi dan memerlukan perbandingan hingga “teka-teki” itu terselesaikan.
Algoritma dan Proses Komputerisasi

Selain dengan Matematika, Algoritma juga sering dikaitkan dengan komputerisasi. Desain dan analisis Algoritma merupakan cabang dari ilmu komputerisasi. Desain itu berguna untuk mengetahui karakteristik dan sejauh mana kemampuan Algoritma dalam menyelesaikan masalah. Dalam ilmu komputer, Algoritma dipelajari secara abstrak tanpa melihat sistem komputer dan bahasa pemrograman yang digunakan.

Takaran kerumitan dari Algoritma adalah gambaran seberapa banyak komputasi yang dibutuhkan oleh Algoritma. Semakin rumit permasalahan yang dihadapi, waktu yang dibutuhkan Algoritma untuk menyelesaikan suatu masalah menajdi semakin lama. Begitu juga sebaliknya. Dalam setiap penyelesaian suatu masalah, proses yang dimiliki Algoritma adalah perhitungan, pengolahan data dan penalaran otomatis.

Algoritma memang bisa diterapkan pada perhitungan apapun. Namun, Algoritma berubah menjadi penting ketika berkaitan dengan cara atau proses komputerisasi. Program yang terdapat dalam komputer berisi Algoritma. Algoritma tersebut menentukan instruksi khusus pada komputer untuk melakukan serta melaksanakan tugas tertentu sesuai urutan.

Dalam proses pengolahan data, Algoritma berkaitan dengan pengolahan informasi. Data yang dibaca oleh Algoritma masuk melalui sumbernya atau yang disebut input, kemudian ditulis ke perangkat output untuk kemudian diproses lebih lanjut. Data yang telah disimpan dianggap sebagai bagian dari keadaan internal entitas yang berperan menjalankan Algoritma.

Dalam beberapa proses komputasi, Algoritma memberlakukannya secara ketat. Setiap data yang masuk harus memenuhi syarat dan ditangani secara sistematis, kriteria juga harus jelas. Hal ini dilakukan karena sudah sesuai dengan syarat dan kriteria awal dari Algoritma itu sendiri.

Langkah-langkah ketat seperti ini adalah langkah tepat dalam Algoritma. Perhitungan secara tepat menjadi prioritas. Instruksi yang diberikan Algoritma ini tergambar secara eksplisit atau tersirat. Hasilnya, atau output akan teratur berurutan seperti dari atas ke bawah atau sebaliknya.
Sejarah dan Jenis Algoritma

Istilah Algoritma berasal dari perubahan nama seorang ahli Matematika dari Uzbekistan bernama Al Khawārizmi ke dalam bahasa Latin. Ahli Matematika itu hidup sekitar abad ke 9. Istilah ini terdapat dalam karyanya yang telah diterjemahkan dalam bahasa Latin yang berasal dari abad 12. Dalam karyanya tertulis “Algorithmi de Numero Indorum”.

Awalnya, istilah Algoritma atau algorisma digunakan hanya untuk aturan aritmatis yang berfungsi untuk menyelesaikan persoalan yang menggunakan bilangan dalam bahasa Arab. Baru pada abad 18, Algoritma resmi digunakan untuk mencakup semua permasalahan.

Perkembangan di dunia Algoritma menghadirkan jenis-jenis klasifikasi Algortima. Klasifikasi ini memiliki alasan serta pembenaran yang berbeda. Pendapat yang berbeda melahirkan metode yang juga berbeda.
Divide and Conquer. Pendapat ini mengatakan bahwa suatu permasalahan yang besar dapat dibagi menjadi permasalahan-permasalahan kecil dalam jumlah banyak. Pembagian terus dilakukan hingga mencapai bentuk terkecil hingga menjadi mudah untuk dipecahkan.
Dynamic Programming. Pendapat ini hampir sama dengan pendapat yang pertama. Perbedaannya terletak pada karekter permasalahan yang harus dihadapi. Masalah yang dianggap tumpang tindih dan harus dipisahkan.
Metode Serakah. Pendapat atau paradigma ini serupa dengan pemrograman dinamik. Perbedaannya terdapat pada jawaban yang berasal dari masalah dianggap tidak perlu diketahui. Pilihan kata “serakah” menjadi kata yang sering digunakan ketika pilihan terbaik dipilih.

Read More

Sejarah Singkat Teorema Pythagoras

"Teorema Pythagoras" dinamakan oleh ahli matematika Yunani kuno yaitu Pythagoras, yang dianggap sebagai orang yang pertama kali memberikan bukti teorema ini. Akan tetapi, banyak orang yang percaya bahwa terdapat hubungan khusus antara sisi dari sebuah segi tiga siku-siku jauh sebelum Pythagoras menemukannya.

Teorema Pythagoras memainkan peran yang sangat signifikan dalam berbagai bidang yang berkaitan dengan matematika. Misalnya, untuk membentuk dasar trigonometri dan bentuk aritmatika, di mana bentuk ini menggabungkan geometri dan aljabar. Teorema ini adalah sebuah hubungan dalam Geometri Euclides di antara tiga sisi dari segi tiga siku-siku. Hal ini menyatakan bahwa 'Jumlah dari persegi yang dibentuk dari panjang dua sisi siku-sikunya akan sama dengan jumlah persegi yang dibentuk dari panjang hipotenusa-nya'.

Secara matematis, teorema ini biasanya biasanya ditulis sebagai : a2 + b2 = c2 , di mana a dan b mewakili panjang dari dua sisi lain dari segitiga siku-siku dan c mewakili panjang dari hipotenusanya (sisi miring).

Sejarah

Sejarah dari Teorema Pythagoras dapat dibagi sebagai berikut:

1. pengetahuan dari Triple Pythagoras,

2. hubungan antara sisi-sisi dari segitiga siku-siku dan sudut-sudut yang berdekatan, 3. bukti dari teorema. 

Sekitar 4000 tahun yang lalu, orang Babilonia dan orang Cina telah menyadari fakta bahwa sebuah segitiga dengan panjang sisi 3, 4, dan 5 harus merupakan segitiga siku-siku. Mereka menggunakan konsep ini untuk membangun sudut siku-siku dan merancang segitiga siku-siku dengan membagi panjang tali ke dalam 12 bagian yang sama, seperti sisi pertama pada segitiga adalah 3, sisi kedua adalah 4, dan sisi ketiga adalah 5 satuan panjang.

Sekitar 2500 tahun SM, Monumen Megalithic di Mesir dan Eropa Utara terdapat susunan segitiga siku-siku dengan panjang sisi yang bulat. Bartel Leendert van der Waerden meng-hipotesis-kan bahwa Tripel Pythagoras diidentifikasi secara aljabar. Selama pemerintahan Hammurabi the Great (1790 - 1750 SM), tablet Plimpton Mesopotamian 32 terdiri dari banyak tulisan yang terkait dengan Tripel Pythagoras. Di India (Abad ke-8 sampai ke-2 sebelum masehi), terdapat Baudhayana Sulba Sutra yang terdiri dari daftar Tripel Pythagoras yaitu pernyataan dari dalil dan bukti geometris dari teorema untuk segitiga siku-siku sama kaki.

Pythagoras (569-475 SM) menggunakan metode aljabar untuk membangun Tripel Pythagoras. Menurut Sir Thomas L. Heath, tidak ada penentuan sebab dari teorema ini selama hampir lima abad setelah Pythagoras menuliskan teorema ini. Namun, penulis seperti Plutarch dan Cicero mengatributkan teorema ke Pythagoras sampai atribusi tersebut diterima dan dikenal secara luas. Pada 400 SM, Plato mendirikan sebuah metode untuk mencari Tripel Pythagoras yang baik dipadukan dengan aljabar and geometri. Sekitar 300 SM, elemen Euclid (bukti aksiomatis yang tertua) menyajikan teorema tersebut. Teks Cina Chou Pei Suan Ching yang ditulis antara 500 SM sampai 200 sesudah masehi memiliki bukti visual dari Teorema Pythagoras atau disebut dengan "Gougu Theorem" (sebagaimana diketahui di Cina) untuk segitiga berukuran 3, 4, dan 5. Selama Dinasti Han (202 SM - 220 M), Tripel Pythagoras muncul di Sembilan Bab pada Seni Mathematika seiring dengan sebutan segitiga siku-siku. Rekaman pertama menggunakan teorema berada di Cina sebagai 'theorem Gougu', dan di India dinamakan "Bhaskara theorem".

Namun, hal ini belum dikonfirmasi apakah Pythagoras adalah orang pertama yang menemukan hubungan antara sisi dari segitiga siku-siku, karena tidak ada teks yang ditulis olehnya yang ditemukan. Walaupun demikian, nama Pythagoras telah dipercaya untuk menjadi nama yang sesuai untuk teorema ini.

Read More